從遊戲中展現數學的美與秩序
主講人：朱佳仁／北縣種籽親子實驗學苑教師
主持人：陳念萱／滋根協會秘書長
會議紀錄：唐宗浩／北市自主學習實驗計畫五年級生，另類教育電子報主編
數學概念的形成過程，是因為經驗太多，必須歸納一些規律，建立一套方法，才能處理複雜的經驗。因此，數學學習便是「經驗」、「整理」、「結晶」和「符號化」的過程。孩子遇到一個新的問題，開始解決，就得到了一個經驗，在經驗後，和老師與其他同學討論與刺激下，開始整理自己的想法，累積了一定的經驗與整理後，開始將自己的數學經驗化為更精簡與更熟練的形式，就稱做結晶，通常這個時候，也差不多可以將這些經驗用一個符號包裝、統合起來，這樣建構的概念才是堅固的。這便是建構式的數學。我一開始就先提這個，相信可以幫大家澄清一些被混淆的概念。
數字、圖形、量感等等的經驗是構成數學概念的基礎，數學知識像課由上發展的大樹，每個知識與概念之間都可以互相推導，如果基礎不穩固，就像在沙地上蓋大樓，總有倒塌的一天。有些人在國小多位數乘法倒了，有人在國中代數學習倒了、有些人在高中三角學倒了，有些人到微積分才倒；但是，基礎堅固的學習是不會說倒就倒的。
其實，同一個問題上，數學概念可以有不同的層次。比方說：算三加二等於多少。有的小孩是把三和二和起來，從頭數：一、二、三、四、五；有的小孩會從三往上數：四、五。在概念的層次來看，後者是比較高的：他已能把「三」當成「一整包東西」來看，而不用重新打散來數。
因此，大人必須要觀察小孩面對問題的策略（思路）和概念形成的層次，不能只看答案正不正確，算了多久等等。就算孩子算錯，也不是單單一句「你錯了」，就予以否定，應該討論中，讓孩子自己去發覺想法上的矛盾，自己修正。我認為對孩子，尤其是剛起步學習的孩子，若他的想法只有百分之一是對的，大人也要肯定那百分之一，因為那百分之一是剛開始萌的芽，摧毀了很難再生的。
在實際教學上，教師所做的事是：提供經驗、評估策略、連結原始策略與大人的想法、標記。舉例來說，在教乘法之前，教師先提出如「一台汽車有四個輪子，五台汽車有幾個輪子？」的問題，小孩會有自己的想法，讓小孩上台分享各自的解題策略，教師讓小孩看出其中最有效率的解法，再將這個解法與數學上的乘法作一個連結，最後再教「乘」的符號。
這麼一來，從面對問題開始，逐步找出最佳的策略，再引出乘法概念，再標記為乘的算符，最後才訓練運算、增加熟練度。對小孩來說，在這個學習過程中，可以體驗到為什麼需要乘法、乘法有什麼好處。
我在教學中，常覺得教學是一種溝通的過程，而不是給予。所謂溝通，便是在孩子原始的想法，與教師的「大人想法」間，搭一座橋樑。教師必須要展現出大人的方法的優點和美感，並與小孩的原始想法找出關係，才能說服小孩接受新的、更有效率的思維模式。
所以說，尊重小孩的原始想法，不代表不教他更有效率的想法，而是要讓他瞭解到更有效率的想法和他的原始想法之間的關聯，以及為什麼「大人的想法」更有效率。對此有所體會，小孩的數學概念才能紮實。當然，若孩子的學習與概念成熟度遠落於他的年紀的表現平均值之後，大人也要提供補救教學，幫他銜接，不可以讓他一直停留在無效率的原始想法中。
我覺得，在小學階段，數學學的是：技巧、思維、溝通。數學的概念、運算能力是有用的技巧；抽象的邏輯思考和策略運用是一種理性思維；溝通則發生在解說與說服的過程。上課時，我常會讓快的小孩教慢的，也會讓大家上台分享各自的解題策略，從而練習組織與表達能力。數學的思考比較抽象，需要的表達能力也比日常生活要高，因此數學課的上台分享便是很好的一種表達練習。
學數學，學到能教到別人聽得懂，自己一定是已經很紮實了。因此，多讓小孩有個別教人或上台分享的機會，對小孩的學習會很有幫助。
在種籽，我們常把一個概念的經驗先帶進課堂，之後才教算符號和定義，這過程有時長達一兩年。像我有一次，帶低年級的小孩，一邊背一邊畫十二乘十二的乘法表，再把某些數的倍數上色。三的倍數、六的倍數、八的倍數……的圖案都畫好後，再要他們分類。
果然，質數長得都像鐵柵欄，都被分成一類了；合數的圖形則比較多樣，有的像一朵花。於是他們開始比較二、三和六的圖形，因數、倍數的經驗就自然產生了。那個年紀如果直接講因數、倍數、質數的定義，他們會很排斥，但讓他們自然發現這種關係，等到年紀再大一點，開始學因數倍數和質數的時候，便會很容易瞭解。
或著，在黑板上畫一條線，右側有一個圖形，要小孩畫出它的鏡象。有時我會讓小孩自己設計一些圖形，然後一起來畫鏡象，那就會遇到一些很複雜，或是繞來繞去的圖形，很有趣。這是對稱圖形的經驗。
另一個很重要的經驗是「量感」。度量衡的單位量感若未建立，那麼那些單位都會變成空的。有些人聽到「我家離火車站十公里」，卻因為對公里沒有量感，所以用走的去，還奇怪地問「怎麼這麼遠？」
種籽的數學，很重視量感的經驗。我們會玩估算的遊戲。拿一個東西，估它的重量。小孩一開始可能會差到一半以上，後來卻都能精準到誤差十分之一以內。長度的量感也是一樣。走路的時候可以先說這段路有多少公尺，先猜要走幾步，大家來比誰猜得準。
我們也玩時間的量感遊戲，比方說大家都把錶拿開，老師說開始的時候就開始數，到自認為一分鐘時舉手，最後比誰猜得準。有一次小孩提議玩三分鐘量感遊戲，就看到三分鐘鴨雀無聲，每個人都在專心數秒，那景象非常感人。
另外，數字的量感也有許多培養的方式。與例來說，我們常玩概算的遊戲。給兩個四位數相乘，限定十秒內寫出估計的答案，看誰比較準。玩之前要先設好規則，比方說位數正確給幾分、最高位數正確給幾分等等。遊戲有明確的規則才好玩。
在科技發達的現代，的確很多的計算都可以交給計算機和電腦了。但是，人得要有能力判斷答案合不合理，否則按錯了鍵，自己都不知道，還以為計算機的答案一定是對的。因此，有量感的小孩，至少當要計算機算3452乘以6452出現一個七位數的時候，會知道一定是按錯了鍵。
用遊戲教數學有很大的好處。不說別的，光是對規則的尊重便得靠遊戲來配養。傳統觀念認為遊戲是不正經的，在此我要平反一下。遊戲可以讓小孩自然感受到規則的重要，因為遊戲沒有規則就不好玩了。此外，遊戲的趣味通常是讓玩的人在某些限制的條件下發展策略，以求取勝利，但是遊戲中的勝負對現實生活並不是非常重要的，因此玩的人對勝負可以淡然處之。
種籽的孩子都滿會玩的，像樸克牌遊戲，小孩都很愛玩。其實，如果小孩沒有策略，他是不會喜歡像橋牌、拿破輪一類的樸克牌遊戲的。懂得在限制的條件下發展策略，一方面能提升思維，二方面還對人生很有幫助。人生常常是要面對許多限制，也是需要確立目標、發展策略的。小孩從遊戲中，常常能學到人生的智慧。種籽的小孩對規則的尊重、對生命的正向態度，和遊戲經驗大有關係。
在教學上，遊戲是吸引小孩興趣的良方。不過，教師自己得要清楚，這個遊戲是在做什麼，它對小孩的學習的幫助是什麼，才能最有效地發揮遊戲的功用。其實，遊戲儘量還是和數學相關，讓小孩從中發現數學的美，才是正道。用無關數學的遊戲吸引小孩，不一定有好下場。
舉例來說，「歸納」（找出規律）本身就很好玩。智力測驗很喜歡考數列填空之類的歸納問題，可以拿來讓小孩玩。這種問題當成智力測驗就有點呆板，但拿來課堂上寫著玩，小孩反應都滿不錯的。還有很多一看之下十分複雜的問題，在將問題簡化後，找到規律，就可以發現一個解決的通則。
在帶小孩熟悉各種三角形時，我不會先說出什麼叫正三角形、什麼叫等腰三角形、什麼叫直角三角形，而是先把各種三角形做成卡片，要他們自己想辦法分類。小孩通常會把正三角形、等腰三角形、直角三角形分開，有時還會把等腰三角形再分成「尖的」（銳角）和「扁的」（鈍角）。這時候，規律自己顯示出來了，我只要說出大人的分法，和他們討論，再標記定義就好了。
除了歸納遊戲外，策略遊戲也很常見。樸克牌遊戲就是一例。至於練習性的遊戲，就比較少見，不過還是辦得到。舉例來說，我見過一個數學老師拿姓名學來教數學。姓名學要算筆劃，還要求筆劃的陰陽，於是小孩一面算命，一面就練習計數，並學會奇偶數的概念了。如果是大一點的孩子，還可以提到金木水火土五行，便是在作「除以五取餘數」（mod 5）的運算等等。
其實，我們生活中充滿數學，社會時事裡有很多可以拿來當教材的。像樂透彩，在低年級的課堂，可以做排序練習；中年級開始教統計圖表，便可以拿中獎的人數和獎項製作統計圖；高年級談機率已經沒問題了，就可以討論靠統計結果報明牌到底可不可信，或是讓小孩自己設計莊家穩賺的彩券規則等等。
當老師的人，從基本能力「選材」開始練，慢慢就可以練到「串連」不同教材的境界，「成精」之後就能「自編」教材了。
如果完全照著教材走，很可能會發生「單元化」的問題。可能一整章都在教小數的乘除，可是之後就再也沒有提到小數乘除的問題了。這樣的話，小孩的數學概念和技巧會被切割成互不相關的單元，而不能形成完整的體系。
為了維持體系的完整，我自己也常常回頭做一些國中、高中和大學的數學題目，重新組織我的數學體系，維持一種活絡的狀態。
想想，小學所學的數學，是人類千年來的文明結晶，要在六年內學完，會出現困難，是很可以理解的。只是說，當老師的人，要用什麼態度來面對問題而已。
接下來我們實際玩玩看。（佳仁老師發下單面可用廢紙）
遊戲一：填數字
將紙畫四道直線（將紙分成五條），在上方分別寫下「個、十、百、千、萬」。每次老師隨機抽出「1~9」的數字，玩的人可以任意填在個、十、百、千這四欄之一，填了就不能改動。總共出現八個數字，填完後加起來，將萬位捨去，算總和，最大的人勝利。九千以上就很不錯了。佳仁老師說，如果玩出策略，每場都能在八千以上。
這個遊戲可以培養小孩的位數概念和量感，又可以在不知不覺間練習四位數的加法。
（這這遊戲總共玩了三次，會眾玩到第二次開始思考策略，第三次大都已有自己的策略了。佳仁老師果然在短短的時間內，讓大家體驗到數學思考的樂趣。）
遊戲二：方形取差
畫一個正方形，在四頂點旁各填上一個自然數。每一次將相鄰兩數的差填在邊的中點上，形成新的正方形；再一直做下去，看要做幾次，才會得到四頂點皆為零的正方形。
這個遊戲可以讓小孩產生疑問：為什麼一定會產生四頂點皆為零的正方形？怎樣可以做多次一些？於是他們會去試一些比較大的數字，結果自然而然地作了一堆減法練習。
遊戲：抽稅（阿里巴巴）
畫一條直線，左邊是政府、右邊是人民，底下寫1~12的數字，代表稅金。政府每拿一個數，人民就在剩下的數中拿那個數的所有因數（被拿過的除外），如果人民拿不到，則政府也不能拿，而且所有剩下沒被拿的數都歸人民。目的：想辦法讓政府抽到的稅金總和，比人民留下來的多。
當我在帶中年級的小孩這個遊戲時，發現他們對稅金沒什麼概念，我們就換了一種講法：左邊是阿里巴巴、右邊是魔王、底下是一袋一袋的寶藏，阿里巴巴要搶走比魔王更多的寶藏。這樣講小孩比較有感覺，就能進入狀況，從遊戲中體會因數、倍數和質數概念；玩一玩還可以改變規則，加一些新的數字，或是找讓阿里巴巴最慘的方法。所以說，把遊戲重新包裝是很重要的。
聽眾問：計算機既然可以算得很精確，小孩為何需要確認的能力？
佳仁答：無論計算機有多精確，使用、解釋其計算結果的還是人。判斷結果是否合理的能力很重要，不然按錯了鍵計算機也不會告訴你。我們說培養小孩的量感和對數字的敏銳，就是要讓他能分辦合理與否，才不會被騙。我們的社會上太多用數字騙人的陷阱，一不小心就會上當。
聽眾問：量感和小孩的發展是否有關？
佳仁答：當然有關。認知發展理論對此有詳細的說明。不過，當老師的人，除了發展心理學的知識外，還有自己的田野經驗。自己的田野有時可以拿來修正發展心理學的知識。久而久之，自己會形成一套自己對小孩發展的認識。
其實，發展心理學的階段只是參考用的，每個孩子的個別差異可能很大。我從自己的教學經驗中發現，幾何敏銳和數字敏銳是不大相關的。有的孩子可以心算三位數的除法，卻畫不出簡單圖形的鏡象；也有的是相反。至少種籽的小孩能說「我就是這方面不大行」先接受自己，再試圖補強。
在小學階段，教師對心理發展的認識特別重要，因為小孩往往一學期間就轉了好幾轉，變得很快。
聽眾問：依我的觀察，目前小學到大學間的數學教材難度是一個不連續函數d(t)，如果在一所十二年一貫的學校中，如何解決此問題？
佳仁答：如果十二年一貫，空間就更大了。教師不一定要自編教材，可以透過選材和課程設計，便可接上。
聽眾問：零的概念的哲學意義很大，種籽的小孩如何形成此概念？
佳仁答：我們會說零代表『沒有』。從交易、欠債便可讓小孩實際體會零和負數。我們也用樸克牌遊戲「拱豬」教負數的加法，因為遊戲中常常會出現負分和正分抵銷的情形。為何我們現在全世界通用印- 阿數字，就是這套系統有效的利用0 解決了位數上的問題，提高計算效率。
我們也玩過「羅馬數字轉譯遊戲」（羅馬數字沒有零，後來就被取代了，現在則常用在時鐘上，或是台北一些巴洛克老建築或是影片最尾端標示完成年代）：先說明羅馬人計數的規則，什麼代表五、什麼代表十、什麼代表百之類的，再寫出一些數字，讓小孩試著翻譯成羅馬數字；也可以倒過來，把羅馬數字翻成阿拉伯數字。同樣地，我們也會帶小孩試著把一般的數轉譯成二進位或其他進位的表示法。小孩會覺得很好玩，也就此獲得了用不同角度面對數字的經驗。